數值策劃學會這個3個數學技巧 技能強度估計化繁為簡

在數值策劃的工作中，我們常常會面對奇奇怪怪的技能效果的量化問題。通常而言，這個問題不存在解析解。更為正確的做法是對真實玩家的實際數據進行統計分析，利用回歸模型來甄別不同CD、持續時間、施法時間、效果對我們選定的因變量的影響，比如這個因變量可以是剩余hp。然而，游戲在推出之前，數值建模就必須做好，這就導致了悖論，我們依賴于統計分析來建模，可沒有建模之前，統計就沒有數據可分析。除此之外，可行的另一方法是使用程序模擬產生數據，甚至劃定適應函數，以遺傳算法的思路確定技能效果的特征值應當怎樣，才能滿足我們期望的平衡。遺傳算法是到目前為止事實上的最佳做法，但它要求游戲的所有技能設計完畢，并對技術提出了要求，一旦添加、修改必須從頭迭代，其時間復雜度較高。

【證明過程】>>>

我在這篇文章里想要展示的是一種數學證明技巧，結合數值分析手段得出任意技能效果的強度估計。數學證明確保了我的推論，數值分析則給出估計值。思路起始于以下2點：

1】奇怪的技能效果不存在解析解or難以得出解析解

2】技能效果發揮的實際強度，一定受限于角色自身實力的唯物觀

從以上2個角度出發，我的目標被明確了：我不知道任意技能效果的強度，但它們是否存在一個界?答案是：存在。

【步驟一】設，有A、B兩名強度相當的玩家，B擁有30%概率令目標昏迷的技能效果，而昏迷時間只有2個方向：∞，0。當昏迷時間→0時，B=A，時間→∞時，因為昏迷本身不額外造成傷害，B只能以自身強度追加傷害，追加的傷害永遠不可能超過B自身，但我們確信昏迷是一個>0的正面效果，于是B>A。故：B>=A。又由于真實的昏迷技能只會被設計在∞與0之間，故：昏迷>真實昏迷，所以我們找到了30%概率昏迷效果的下界：沒有任何效果的A。

【步驟二】現在，我們需要引入一個概念，這個概念必須與“步驟一”里的技能效果有同等條件，唯一的是效果不同，這個概念必須是我們清晰認識的，我選擇30%暴擊+2倍爆傷，為玩家C擁有的效果，C自身強度與A、B相當。根據全概率公式可知，C的輸出能力收斂于1.3，即1.3A。顯然C>A。我們接下來的問題是，B和C的關系怎樣?

【步驟三】設，存在一個玩家D，D擁有30%概率暴擊+2倍爆傷+30%概率昏迷。根據“步驟一”，我們有D>=C，又顯然D>B。故：D>=C>B>=A。至此，我們成功證明出了B的上界是擁有同等概率的暴擊C，又由于暴擊效果收斂于一個常數，事實上也反映了“2】”的唯物觀。

【步驟四】接下來加入更多奇奇怪怪的技能效果：擊退、拉近、貼身沖撞、瞬移背刺、沉默、封印某系魔法、打斷、閃爍、移動加速、復制技能等等等等。其思考方式與前述3個步驟并無二致，但不再數學描述。

【步驟五】顯然，沉默、封印某系魔法，等價于昏迷了對方的技能部分，又由于范圍不如昏迷(昏迷等價于沉默移動、普攻、技能)，故：封印某系魔法<沉默<昏迷。

【步驟六】擊退、拉近、貼近沖撞、瞬移背刺。被施加效果的目標在這短暫的被擊退、被拉近、被沖撞、轉身回擊的過程中，無法發起對施法者的攻擊，其等價于在短暫時間內令對方昏迷。如果可以發起攻擊，那么效果強度將更小于現在討論的情況，又因為時間→0，故：擊退等<封印魔法<沉默<昏迷。

【步驟七】打斷等價于時間→0的沉默，故：打斷<以上全部

【步驟八】閃爍將其夸大為閃過去攻擊，在對方要攻擊的時候立刻閃回來。顯然，這種令對方無法反擊的夸大討論，等價于昏迷，由于實際閃爍完全不趨近于本情況，且閃爍到敵方攻擊距離、方向外可令敵方攻擊中斷，故：打斷<=閃爍<以上全部

【步驟九】移動加速將其夸大為無窮大的移速，顯然，這種情況比夸大的閃爍弱，因為它不能逾越障礙，故：移動加速<以上全部。

【步驟十】任意技能效果根據以上推導，都可以表明均在一個你可以規定的上界和一個沒有任何效果的下界之間，所以，復制技能只可能取值任意技能效果，我們可以使用后面提到的數值分析法估計出效果強度后的均值來作為該技能的強度估計。

【步驟十一】攻擊加速略微特殊，如果加速→∞，則攻擊加速<=上界，加速→0則>=下界。攻擊加速又可以知道，相當于提高攻速百分比的傷害百分比，所以其上界必須考慮最高攻擊加速的實際百分比數值——任何可計算、直接給出傷害提高效果的技能是同等道理(暴擊就是一例)，因為傷害效果是一個被清晰認識的技能效果，其上界在于它自身。

【數值分析】>>>

我們證明，技能效果總是在一個上界和一個下界之間，加入任意技能效果，都可以為其安排位置，并將服從于不等式排序。某些技能效果可能互相之間難以看出誰在不等式的另一邊，但只要它們是臨近的，事實上最終對它們的強度估計不會偏差太遠，畢竟我們沒有解析解，只有存在誤差的數值解。

【插值法】當我們完成上述不等式排序后，我們對技能效果的強度認識有了相當大的進展，我們知道它們在一個界里，并且知道界的兩端，可我們并不知道它們到底強度如何，但我們可以將其看作已知2個數據點，求中間數據點的插值問題。已知界的兩端分別是1和1.3，做一個線性/對數插值，用插值函數依序估計出所有技能效果的強度即可。實踐表明，上界不高，那么線性和對數插值幾乎沒有區別，如果界較高且技能效果較多，對數插值應當是合適的選擇：因為我們還是要相信，個中關系不應該是線性那么簡單。

【計算方法】我們知道了任意技能效果的強度，其強度上界總是一個提高了X倍傷害的效果、更高強度的玩家。但對我們真正有用的上界是：擁有傷害技能在標準戰斗時間里，通過技能+普攻最終造成只有普攻情況下的A倍(A>1)的角色。而這個情況，是我們在建模之初就指定了的A值，用以計算出角色屬性、技能傷害所需的參數?，F在，我們知道，真實的戰斗時間不是→∞，所以，我們將包括上界的所有技能效果的強度除以標準戰斗時間，得出每秒強度值，則我們可列出公式，新的A值變成：

new_A=(a0x0+a1x1+....anxn)

a是任意技能效果的每秒強度值(強度值/標準戰斗時間)，x是各類效果存在時間，某些看似沒有時間的效果，實際上它只能存續于標準戰斗時間內才有意義，所以它們的時間等于標準戰斗時間。根據以下公式，算出一個技能攜帶了其他效果時，該技能可被分配的剩余傷害能力：

w=( ( A - new_A ) * (c+s) - c )/ s

w為我們要求的傷害百分比，c為該技能冷卻時間，s為普攻速度，一般為1，該公式已省略過程，不在本文討論，原始公式出自《游戲數值對答錄》，經簡單代數變換可得。該公式表明，當( A - new_A )的絕對值<=1時，w不能得出正常結果。為解決這個問題，可以使用正常的A、c、s的值算出w，然后w * new_A / A來解決。

同時，我們給出兩種越界警告，一種是特定技能效果超出插值給出的估計值，一種是超出上界，后一種表示技能的不平衡程度不小于該差額的絕對值，在特別設計和要求的情況下可適當超出。

【其他】>>>

Q：你在最后說暴擊這樣看似沒有時間的技能，只在標準戰斗時間內有效，可以等于持續了這個時間，可你在推導中又說昏迷→∞，這不是矛盾嗎?

A：因為推導過程中，暴擊不言自明的存續時間→∞且不可能為0。

Q：昏迷可以看做限制了對方輸出，提高了我方生存，為什么你說對昏迷目標的追加傷害仍然不能超過自身強度?

A：因為30%概率暴擊等價于提高了1.3倍傷害，則數學公式為HP*(1.3 * DPS)，根據乘法交換律，該公式也等于(1.3 * HP)* DPS。這意味著提高X倍輸出能力，完全等于提高了X倍生存能力。推導過程中從生存能力角度看將得出→∞的不定式，我們無法得出任何結論，從輸出角度看便可以得出結論。此外，真實昏迷不可能被設計得過長，過長也會有對抗技能來解控，則：有解控威脅的昏迷<真實昏迷。

Q：D>=C，D>B，據我所知在不等式里不能得出D>=C>B ?

A：如果C是一個變量，像通常見到的不等式公式那樣，我們的確不能得出。但C是A這個常數 * 1.3，仍然是常數。D和B的變量是昏迷時間，D既然可以等于一個常數，即這個常數是D的下界，則B是不可能大于這個常數的，否則會推出D>=B，和已知條件矛盾。如果D和B的昏迷時間不一樣，也無法推出步驟三的結論，但注意前3步驟的所有條件：基礎強度、概率、時間趨向的一致性。

Q：那實際中，昏迷時間完全可以在冷卻和持續上不一致呀?

A：這是一個簡單的全概率公式可以解決的問題。即便上界是30%概率的暴擊，對于60%*(10/3)*1/10+0*(1-60%)*(1-(10/3)*1/10)=20%?？梢缘贸?，在10秒標準戰斗時間內，60%概率的3秒冷卻1秒持續的昏迷效果，等價于20%概率1秒冷卻1秒昏迷的效果。則20%概率沒有超出30%概率的上界。任意百分比如移動加速、CD回復均可通過全概率來等價為概率表現，從而不違背數學證明的前提條件。

Q：你用到了哪些數學技巧?

A：1、不等式與夾擠定理;2、極限知識;3、數值分析的插值法